Fourier Dönüşümleri

1.FOURIER DÖNÜŞÜMLERİ
1.1.Tanım:
Uygulamalı matematiğin birçok alanında kullanılan Fourier Dönüşümleri ile karakteristik fonksiyonlar arasında büyük benzerlikler bulunmaktadır.Karakteristik fonksiyonlar, Fourier Dönüşümlerinin genel teorisinin özel bir durumudur.Moment çıkaran fonksiyonu bulunamayan bir dağılış fonksiyonunun bir sabit farkıyla Ters Fourier Dönüşümünü bulmak işlemidir.
1.2.Fourier Dönüşümünün Elde Edilişi:
f(x)= +
ve

olduğunu biliyoruz.Bu durumda T olduğunda Fourier Serisi yerini Fourier İntegrallerine bırakıyor.Eğer f(x) ve f’(x)parçalı sürekli fonksiyonlar ve ,

1.f(x)= (A(?).cos?x+B(?).sin?x)d?
2.
3.
2. ve 3.’ü 1.’de yerine koyarsak;
f(x)=
=



f(u)’nun fourier dönüşümü (1)denir.
Ters fourier dönüşümüdür.(2)Yani;
F(?)’nın bilinmesi halinde f(u)’nun bulunması için kullanılır.Ters dönüşümün varlığı, yani (2)’deki integralin yakınsak olması ve yakınsaklık halinde gerçekten f(u)’yu vermesi için f(u)’nun sürekli olması yeterlidir.
1.3.Özel Durumlar:
1)f(x) tek A(?)=0

= Fourier-Sin Dönüşümü

2)f(x) çift B(?)=0

Fourier-Cos Dönüşümü

1.4.Fourier Serisinin Bir Limiti Olarak Fourier İntegrali:
Fourier serisinin bu özelliğini geliştirmemizde Dirichlet Koşulları, herhangi bir periyodik fonksiyonun genişlemesini sağlamak için yeterlidir.Birçok mekanik ve elektrik sistemlerde genel periyodik karışıklıklara yanıt bulmayı olanaklı kılar.Diğer yandan, etkileyen güç yada voltaj içeren birçok problem periyodik değildir, çünkü tek bir tekrarlanmayan ahenkli kalp atışı gibidir.Bu kısa fonksiyon, Fourier serisinin doğrudan kullanımını kontrol altında tutamaz.Fourier Serisi, böyle seriler için sadece periyodik fonksiyonları tanımlamada faydalıdır.Ancak, verilen fonksiyonun periyodunu sonsuz olarak, Fourier Serisi tarafından yaklaşan limitini araştırmak, periyodik olmayan fonksiyon için uygun bir temsil olarak elde edilebilir.


Fp(t)






Şekil1.2p=4 periyodunda periyodik bir fonksiyon.
Forier İntegrali farklı bir formda yazılabilir.Bunun için;

‘den yararlanabiliriz.
ve
f(t) ve onun katsayı fonksiyonu g(w) olan bu iki ifadeyle, Fourier Dönüşümü olarak bilinen çifti oluşturabiliriz.Katsayı fonksiyonu g(w), f(t)’ye eşittir.Bu durumun ,fonksiyonun iki farklı temsiline etkisi;f(t)’nin zaman içinde ilgi alanı ve g(w)’nin bu ilgi alanında ne sıklıkta yer alacağıdır.